Chris Spackman – Educator Resources
Unit Circle ExplorerExplorador del círculo unitario
Drag the yellow point P around the circle and watch the numbers change. Each tab shows one idea: the special angles and their exact values, reference angles, how the circle draws the sine wave, and what a radian is. The last tab has practice questions.
Arrastra el punto amarillo P alrededor del círculo y observa cómo cambian los números. Cada pestaña muestra una idea: los ángulos especiales y sus valores exactos, los ángulos de referencia, cómo el círculo dibuja la onda senoidal y qué es un radián. La última pestaña tiene preguntas para practicar.
You can also click anywhere on the picture to move P there, or click P and turn it with the arrow keys (↑/→ counter-clockwise, ↓/← clockwise; hold Shift for small steps). Nothing is saved or sent anywhere. For triangles, inscribed angles, and more, see the Geometry Explorer.
También puedes hacer clic en cualquier parte de la figura para llevar P allí, o hacer clic en P y girarlo con las flechas del teclado (↑/→ en sentido contrario a las agujas del reloj, ↓/← en el sentido de las agujas; mantén Mayús para pasos pequeños). No se guarda ni se envía nada. Para triángulos, ángulos inscritos y más, mira el Explorador de geometría.
What to noticeQué observar
On the unit circle (radius 1), the point at angle θ is (cos θ, sin θ): cosine is how far right P is, and sine is how far up. The special angles (the multiples of 30° and 45°) come from two triangles you can draw inside the circle: the 30-60-90 triangle and the 45-45-90 triangle. That is why their coordinates use only 0, 1/2, √2/2, √3/2, and 1. Every special point has three partners, mirrored across the axes, with the same numbers and different signs.
En el círculo unitario (radio 1), el punto que está en el ángulo θ es (cos θ, sen θ): el coseno es cuánto está P a la derecha y el seno, cuánto está arriba. Los ángulos especiales (los múltiplos de 30° y de 45°) salen de dos triángulos que puedes dibujar dentro del círculo: el triángulo 30-60-90 y el triángulo 45-45-90. Por eso sus coordenadas solo usan 0, 1/2, √2/2, √3/2 y 1. Cada punto especial tiene tres compañeros, reflejados en los ejes, con los mismos números y signos distintos.
Things to TryCosas para probar
- Set the labels to “exact coordinates”. Which numbers appear? Where does each one show up?
- Find the two angles where cos θ = −1/2. How are they related?
- Shade the quadrants. In which quadrant are sin and cos both negative?
- Show the angles in radians. Which angle is π? Which is 3π/2? Why does 2π land where 0 starts?
- Snap to nothing and look for the angles where sin θ and cos θ are equal. How many are there?
- Pon las etiquetas en «coordenadas exactas». ¿Qué números aparecen? ¿Dónde aparece cada uno?
- Encuentra los dos ángulos donde cos θ = −1/2. ¿Qué relación tienen?
- Sombrea los cuadrantes. ¿En qué cuadrante son negativos tanto sen como cos?
- Muestra los ángulos en radianes. ¿Qué ángulo es π? ¿Cuál es 3π/2? ¿Por qué 2π cae donde empieza 0?
- Ajusta a «nada» y busca los ángulos donde sen θ y cos θ son iguales. ¿Cuántos hay?
What to noticeQué observar
The reference angle (green) is the angle between the radius and the x-axis, never the y-axis. It is always between 0° and 90°. Points with the same reference angle make the same triangle, so their sin and cos have the same size; the quadrant only decides the signs. To find sin 150°, find sin 30° and then ask: is P above or below the x-axis?
El ángulo de referencia (verde) es el ángulo entre el radio y el eje x, nunca el eje y. Siempre está entre 0° y 90°. Los puntos con el mismo ángulo de referencia forman el mismo triángulo, así que su sen y su cos tienen el mismo tamaño; el cuadrante solo decide los signos. Para hallar sen 150°, halla sen 30° y luego pregúntate: ¿está P arriba o abajo del eje x?
Things to TryCosas para probar
- Put P at 150°, 210°, and 330°. What is the reference angle each time?
- Write a rule for the reference angle in each quadrant. Check it against the readout.
- In which quadrant is tan positive but sin negative?
- Hide the other three points. Predict where they are, then show them again to check.
- Pon P en 150°, 210° y 330°. ¿Cuál es el ángulo de referencia cada vez?
- Escribe una regla para el ángulo de referencia en cada cuadrante. Compruébala con los números.
- ¿En qué cuadrante la tangente es positiva pero el seno es negativo?
- Oculta los otros tres puntos. Predice dónde están y luego muéstralos otra vez para comprobarlo.
What to noticeQué observar
Walk P around the circle and follow its height across to the graph. The height of P is sin θ, so plotting the height against the angle draws the sine wave. One full turn (360°, or 2π radians) draws one full wave; after that the wave repeats. That length is called the period. The cosine wave has the same shape, shifted 90°: it starts at the top instead of the middle.
Recorre el círculo con P y sigue su altura hasta la gráfica. La altura de P es sen θ, así que al graficar la altura contra el ángulo se dibuja la onda senoidal. Una vuelta completa (360°, o 2π radianes) dibuja una onda completa; después la onda se repite. Ese largo se llama período. La onda del coseno tiene la misma forma, desplazada 90°: empieza arriba en vez de en el medio.
Things to TryCosas para probar
- Press Play. Watch the red line on the circle and the red line on the graph. What stays the same?
- Where is the sine wave highest? Lowest? Where is P then?
- Before you turn on the cosine wave, sketch what you think it looks like. Then check.
- Show both waves. Find the angles where they cross. What is true about P there?
- Presiona Reproducir. Observa la línea roja en el círculo y la línea roja en la gráfica. ¿Qué se mantiene igual?
- ¿Dónde está más alta la onda del seno? ¿Y más baja? ¿Dónde está P en esos momentos?
- Antes de activar la onda del coseno, dibuja cómo crees que es. Luego compruébalo.
- Muestra las dos ondas. Encuentra los ángulos donde se cruzan. ¿Qué pasa con P allí?
What to noticeQué observar
A radian measures an angle by distance around the circle. On the unit circle the radius is 1, so an angle of θ radians cuts off an arc of length θ. One radian is the angle whose arc is exactly one radius long (about 57.3°). Half a turn is π radians, because half the circumference of a unit circle is π. A full turn is 2π ≈ 6.28, so a little more than six radii fit around the circle.
Un radián mide un ángulo por la distancia alrededor del círculo. En el círculo unitario el radio es 1, así que un ángulo de θ radianes corta un arco de largo θ. Un radián es el ángulo cuyo arco mide exactamente un radio (unos 57,3°). Media vuelta son π radianes, porque la mitad de la circunferencia de un círculo unitario es π. Una vuelta completa es 2π ≈ 6,28, así que caben un poco más de seis radios alrededor del círculo.
Things to TryCosas para probar
- Snap to whole radians and walk P around. How many whole radii fit around the circle? How much is left over?
- Where is P at θ = 3 rad? Why is it just short of π?
- Is 2 rad more or less than 90°? Guess first, then check.
- Use degrees = radians × 180 ÷ π to change π/3 into degrees. Check by moving P.
- Ajusta a radianes enteros y recorre el círculo con P. ¿Cuántos radios enteros caben alrededor del círculo? ¿Cuánto sobra?
- ¿Dónde está P cuando θ = 3 rad? ¿Por qué le falta un poco para llegar a π?
- ¿2 rad es más o menos que 90°? Adivina primero y luego compruébalo.
- Usa grados = radianes × 180 ÷ π para pasar π/3 a grados. Compruébalo moviendo P.
HintsPistas
- Find the reference angle first. That tells you the size of sin and cos.
- Then use the quadrant for the signs: sin is positive above the x-axis, cos is positive to the right of the y-axis.
- A pattern for 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: sin is √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. Cos is the same list backwards.
- tan = sin ÷ cos, so tan is undefined where cos is 0 (at 90° and 270°).
- Halla primero el ángulo de referencia. Eso te dice el tamaño de sen y cos.
- Después usa el cuadrante para los signos: sen es positivo arriba del eje x, cos es positivo a la derecha del eje y.
- Un patrón para 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: sen es √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. Cos es la misma lista al revés.
- tan = sen ÷ cos, así que la tangente no está definida donde cos es 0 (en 90° y 270°).
The score counts right answers on the first try. With “both” chosen above, each question is in degrees or radians at random.
El puntaje cuenta las respuestas correctas al primer intento. Si eliges «ambos» arriba, cada pregunta sale en grados o en radianes al azar.
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